单个巨星脉冲的时域表达式Singe Rectangular Pulse
x(t)=u(t+2τ)−u(t−2τ)
单个矩形脉冲的频域表达式 Fourier Transform, Spectrum Density
X(jω)==Euler==∫−2τ2τe−jωtdt= −jω1e−jωt∣∣∣∣∣∣−2τ2τ−jω1⎝⎜⎜⎛e−jω2τ−ejω2τ⎠⎟⎟⎞−jω1(cos(2ωτ)−sin(2ωτ)cos(2ωτ)−sin(2ωτ))ω2sin2ωττSa2ωτ
ClearAll["Global`*"]
x[t_] := HeavisideTheta[t + \[Tau]/2] - HeavisideTheta[t - \[Tau]/2];
FourierTransform[x[t], t, \[Omega],
FourierParameters -> {1, -1}] // FullSimplify
上述的矩形脉冲在时域上是 [−τ/2,τ/2]，负时间是不可能的，我们可以通过时域平移，利用傅里叶变换的 Time Shift Characters 改写上述表达式，CH1-Continues-Frequency-Domain-CTFT#5.1.7 时频平移
x′(t)=x(t−2τ)⟺X′(jω)=X(jω)e−jωτ/2
根据以上性质，我们可以很容易地写出 x′(t)=u(t)−u(t−τ) 的傅里叶变换表达式，这里得到的其实就是 零阶保持（ZOH）的冲激响应
X′(jω)=−jω1⎝⎜⎜⎛e−jω2τ−ejω2τ⎠⎟⎟⎞e−jω2τ=jω1−e−jωτ
为了求矩形脉冲序列频谱，我们先求地N个脉冲的傅里叶级数（FS）
xn(t)=u(t+2τ−nT)−u(t−2τ−nT)
积分区间在[−2τ,2τ]是单位1
Xn(nω0)=T1∫−2τ2τ1⋅e−jnω0tdt= −jω1e−jnω0t∣∣∣∣∣∣−2τ2τ=TτSa(2nω0τ), ω0=T2π
从FS到FT是有公式的，直接做周期延拓即可，Spectrum Density，见 CH1-Continues-Frequency-Domain-CTFT#6 周期信号的傅里叶变换（CTFT）
Xn(jω)=n=−∞∑∞X(nω0)2πδ(ω−nω0)=n=−∞∑∞TτSa(2nω0τ)2πδ(ω−nω0)
这里说明 sinc 函数和 Sa 函数关系：
-
Sa ，抽样/采样函数，定义是在信号处理工程/数学上是统一的
Sa(x)=xsin(x)
-
在数学分析上（也是mathematica中）通常使用非归一化的 sinc 函数
un-normalized sinc(x)=xsin(x)
在信号处理上，通常使用归一化的 sinc 函数，
normalized sinc(x)=πxsin(πx)
同理，对上述过程，向右平移 τ/2 平移后得到
xn′(t) = u(t−nT) − u(t−τ−nT)
再次根据周期延拓性质，见 CH1-Continues-Frequency-Domain-CTFT#6 周期信号的傅里叶变换（CTFT），可以得到
Xn′(jω)=n=−∞∑∞X(nω0)2πδ(ω−nω0)=n=−∞∑∞T1jnω01−e−jnω0τ2πδ(ω−nω0)
想要实现真正 点 的采样时，需要的 矩形脉冲序列 的脉宽无穷窄，我们观察其频域发现BUG了，结果是无穷小：
Xn(jω)∣τ→0=n=−∞∑∞TτSa(2nω0τ)2πδ(ω−nω0)∣∣∣∣∣∣τ→0=n=−∞∑∞Tτ2πδ(ω−nω0)=0?
这样的序列是不能用来采样的，因为采样后功率为零。我们尝试通过更改采样信号去修复这个问题：当采样矩形脉冲序列的 脉宽无限窄时，令其高度也无限高，但是保持面积为1，那么用于采样的脉冲序列变成了
xn−revised=τxn(t)=τu(t+2τ−nT)−u(t−2τ−nT)
此时，其傅里叶变换为，
Xn−revised(jω)=τ1n=−∞∑∞Tτ2πδ(ω−nω0)=T2πn=−∞∑∞δ(ω−nω0)
这样脉宽与高度乘积，也就是积分结果为1的函数叫做 狄拉克函数(Dirac Delta Function) δ(t)。理想采样时，时域乘的函数，不是脉宽无限小的 矩形脉冲，而是一个 冲击（频域是1）。即连续到离散后的形式是冲击，而非有限数值。
其时域表达式为，在nT上以外的值为0，虽在nT上的值没直接定义，但是其积分结果为1，这个奇异函数的假设让连续到离散的过程理论自洽。
δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)
由于δT(t)时周期函数，可以用傅里叶级数完全表征
δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)=n=−∞∑∞δT(nω0)ejnω0t
这里傅里叶级数（FS）的每个系数 δT(nω0) 为
δT(nω0)=T1∫2−T2TδT(t)e−jnω0tdt=T1ω0=T2π
根据周期延拓，见 CH1-Continues-Frequency-Domain-CTFT#6 周期信号的傅里叶变换（CTFT），可以得到傅里叶变换（FT）为
δT(jω)=n=−∞∑∞T12πδ(ω−nω0)=T2πn=−∞∑∞δ(ω−nω0)
时域上，连续信号 f(t) 与 矩形脉冲序列 p(t) 乘积得到采样后的信号 fs(t)
fs(t) = f(t) ⋅ p(t)
p(t)=n=0∑∞u(t+2τ−nT)−u(t−2τ−nT)
频域上对应卷积
Fs(ω)=2π1F(ω)∗P(ω)
矩形脉冲序列 的频域为
P(ω)=n=−∞∑∞TτSa(2nω0τ)2πδ(ω−nω0)
F(ω) 和 P(ω) 卷积后得到 Fs(ω)，卷积四步法=替换变量+对折+平移+积分求和
Fs(ω)=2π1∫−∞∞F(ω′)⋅n=−∞∑∞TτSa(2nω0τ)2πδ(ω−ω′−nω0)dω′=Tτn=−∞∑∞Sa(2nω0τ)⋅∫−∞∞F(ω′)⋅δ(−(ω′−(ω−nω0))dω′=Tτn=−∞∑∞Sa(2nω0τ)⋅F(ω−nω0)
同样，当矩形脉冲向右平移 τ/2 后，再次求解上述过程，
Fs′(ω)=F(ω)∗(P(ω)e−jω0τ/2)=Tτn=−∞∑∞Sa(2ω0τ)⋅F(ω−nω0)⋅e−jω0τ/2
从#1.1 矩形脉冲 中的平移，可以看到
τSa(2ω0τ)⋅e−jω0τ/2=jω01−e−jω0τ
所以向右平移 τ/2 后的频域为
Fs′(ω)=T1n=−∞∑∞(F(ω−nω0)⋅jω01−e−jω0τ)
时域上，连续信号 f(t) 与 冲击序列 δT(t) 乘积得到采样后的信号 fs(t)
fs(t) = f(t) ⋅ δT(t)
δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)
频域上对应卷积
Fs(ω) = F(ω) ∗ δT(ω)
矩形脉冲序列 的频域为
δT(ω)=T2πn=−∞∑∞δ(ω−nω0)
F(ω) 和 δT(ω) 卷积后得到 Fs(ω)，卷积四步法=替换变量+对折+平移+积分求和
Fs(ω)=2π1∫−∞∞F(ω′)⋅T2πn=−∞∑∞δ(ω−nω0)dω′=T1∫−∞∞F(ω′)⋅n=−∞∑∞δ(ω−ω′−nω0)dω′=T1n=−∞∑∞∫−∞∞F(ω′)⋅δ(−(ω′−(ω−nω0))dω′=T1n=−∞∑∞F(ω−nω0)
这里的 ω0 是采样角频率，ω0=T2π，单位是 rad/s；这里的 ω 是角频率，ω=2πf，单位是rad/
From Laplace to Z-Transformation by [narrowing the pulse]
[Book] Analog MOS integrated circuits for signal processing
a) Pulse Train
fpulseTrain(t)=kn=0∑∞f(nT)[u(t−nT)−u(t−nT−τ)]
b) Laplace Transform of the “Pulse Train”
F(s) =∫−∞∞fpulseTrain(t)e−stdt=∫−∞∞[kn=0∑∞f(nT)[u(t−nT)−u(t−nT−τ)]]e−stdt
c) kf(nT) has no integration variable dt, so be placed out of ∫()
F(s)= n=0∑∞{kf(nT)[∫−∞∞(u(t−nT)−u(t−nT−τ))e−stdt]}
d) Based on commonly used Laplace transform table
F(s)= n=0∑∞(kf(nT)(se−snT−se−s(nT+τ)))=n=0∑∞(kf(nT)s1−e−sτe−snT)=ks1−e−sτn=0∑∞(f(nT)e−snT)
e) Taylor series, ignore the 2nd higher order items of e−sτ, τ→0
F(s)≈ ks1−(1−sτ)n=0∑∞[f(nT)e−snT]=kτn=0∑∞[f(nT)e−snT]
f) if k=1/
AreaoffpulseTrain(nT) = Magnitudeoff(nT)
F(s)≈n=0∑∞[f(nT)e−snT]F(z)=n=0∑∞[f(nT)z−n]
冲击抽样其实是难以实现的，实际的抽样是零阶保持，也就是我们的S/H电路，这个可以看成是“冲击抽样 =>零阶保持”的结果
在时域的过程，相当于信号乘以冲击序列
fs(t) = f(t) ⋅ δT(t)
然后再经过零阶保持的响应
fSH = fs(t) ∗ h0(t)
h0(t) = u(t−nT) − u(t−τ−nT)
在频域的表现为如下：
（1）首先经过抽样函数卷积，见#2.2 冲击序列采样
Fs(ω)=F(ω)∗δT(ω)=T1n=−∞∑∞F(ω−nω0)
（2）然后再经过ZOH函数，见#1.1 矩形脉冲与ZOH
FSH(ω) = Fs(ω) ⋅ H0(ω)=T1n=−∞∑∞F(ω−nω0)⋅TSa(2ωτ)e−jω2τ=T1n=−∞∑∞F(ω−nω0)采样后的频谱密度jω1−e−jωτZOH:H0(ω)
在这里，我们观察1KHz 60dB放大器经过16KHz的ZOH操作后的频谱响应（INA284, Page7）
ClearAll["Global`*"]
(*AMP的传函,增益=1000，BW=1*10^3*)
ampTF = 1000*(1/(1 + 1/(2*Pi*1*10^3)*I*w));
(*ZOH函数,ZOH操作频率是16KH*)
t = 0.5/(16*10^3);
zohTF = (1 - E^(-I*w*t))/(I*w)*(1/t);
(*整体的传函为*)
totalTF = ampTF*zohTF;
(*绘图*)
LogLinearPlot[20*Log10[Abs[totalTF]], {w, 10, 10^6},
PlotRange -> { {10, 10^6}, {-20, 70} }]
若要恢复原始信号的频谱，则要经过1/H0(ω)后，再经过理想的低通滤波器。
立项的低通滤波器，在频域表现如下（这里增益为采样周期 T ）
H(ω)={T0∣ω∣<ωc∣ω∣≥ωc
时域表现为，做反傅里叶变化，见CH1-Continues-Frequency-Domain-CTFT#3 周期信号的傅里叶级数变换（FS），可以得到：
h(t)=2πT∫−∞∞H(ω)⋅ejωtdω=2πT∫−ωcωcejωtdω =2πT⋅jtejωt∣∣∣∣∣−ωcωc=2πT⋅(jtejωct−jte−jωct)ejωt=cosωt+jsinωt2πT⋅jt(cosωct+jsinωct)−(cosωct−jsinωct)=2πTjtj2sinωct=Tπωcωctsinωct=TπωcSa(ωct)
采样后的信号恢复，则是
fr(t)=n=−∞∑∞f(nT)⋅δ(t−nT)∗TπωcSa(ωct)=∫−∞∞n=−∞∑∞f(nT)⋅δ(t0−nT)⋅TπωcSa(ωc(t−t0))dt0=n=−∞∑∞f(nT)∫−∞∞δ(t0−nT)⋅TπωcSa(ωc(t−t0))dt0=n=−∞∑∞πTωcf(nT)Sa(ωc(t−nT))
这里的内插函数
πTωcSa(ωc(t−nT))
这时，我们假设 ωc 恰好是一半的采样频率
ωc=21ωs=Tπ
带入上式，得到
fr(t)=n=−∞∑∞πTTπf(nT)Sa(Tπ(t−nT))=n=−∞∑∞f(nT)Sa(Tπ(t−nT))
这里低通滤波器要有增益T的理解：原始信号的 Fs(ω) 是离散信号的频谱，离散信号的频谱与连续信号的频谱的关系是，所以值截取一个周期内 ωs 的信号作为原 F(ω) 时，要乘以增益 T
FS(ω)=T1n=−∞∑∞F(ω−nω0)
至于为什么连续被采样后，频谱密度的高度变为了原先的1/T，一个通俗的理解是：原来在整个T上都有信号1；现在在T内只有在单位1上有信号1了，那频谱密度的高度自然变成了原来的1/T。
至于为什么离散化后会出现重复？ https://zhuanlan.zhihu.com/p/346601688
从时域抽样，采样频率应该fs ≥ 2fm；从频域抽样，采样频率间隔Δf≤1/2Tm。如果信号Tm时间无限长，则意味着Δf无限小。对应于时域抽样的加抗混叠滤波器，频域抽样前先加抗混叠时窗。
[巴特莱特窗 Bartlett window]
w(t)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1−τ2∣t∣0∣t∣≤2τ∣t∣>2τ
W(f)=τ(2πf)24t(πfτ)
[汉宁窗 Hanning window]
w(t)=21(1+cosτπt)∣t∣≤τ
W(f)=2πf[π2−(2πfτ)2]π2sin(2πfτ)
[汉明窗 Hamming window]
w(t)=0.54+0.46cosτπt∣t∣≤τ
W(f)=2πf[π2−(2πfτ)2][1.08π2−0.16(2πfτ)2]sin(2πfτ)
[帕森窗 Parzen window]
w2τ(t)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧1−τ2∣t∣0,∣t∣≤2τ∣t∣>2τ
w(t)=τ3w2τ(t)∗w2τ(t)
W(f)=43τ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛42πfτsin(42πfτ)⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞4
希望时窗函数的频谱有尽可能窄的主瓣，幅值尽可能小的旁瓣，这样频谱卷积后和原始信号的频谱比较近似，这两者通常时矛盾的。