completion of orthogonal function set
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧∫t1t2∣gi(t)∣2dt=ki,(i=1,2,…,n)∫t1t2gi(t)gj∗(t)dt=ki,(i=j,j=1,2,…,n)
以下两个是完备正交函数集（completion of orthogonal function set）
{sinnω0t,cosnω0t,n=1,2,…}
{ejnω0t,n=±1,±2,… },t∈(0,ω02π)
欧拉公式将复指数与三角函数联系在一起：
ejnω0t=cosnω0t+jsin nω0t
引出完备正交函数集的概念，是为了证明三角级数/复指数是完备的，可以用这些函数集内的函数表示一个信号，从而完成信号的分解。这里的分解其实就是各种傅里叶变换。
首先用三角函数表示出傅里叶级数：
x(t)=a0+n=1∑∞(ancosnω0t+bnsinnω0t)
x(t)=a0+n=1∑∞an2+bn2(an2+bn2ancosnω0t−an2+bn2−bnsinnω0t)
x(t)=a0+n=1∑∞cn(cosφncosnω0t−sinφnsinnω0t)
x(t)=c0+n=1∑∞cncos(nω0t+φn)
接着进一步，推导出傅里叶级数的复指数形式：
x(t)=c0+n=1∑∞2cn[ej(nω0t+φn)+e−j(nω0t+φn)]
x(t)=c0+n=1∑∞2cnej(nω0t+φn)+n=1∑∞2cne−j(nω0t+φn)
x(t)=c0+n=1∑∞2cnejnω0tejφn+n=−1∑−∞2c−nejnω0te−jφ−n
x(t)=c0+n=1∑∞2cnejnω0tejφn+n=−1∑−∞2c−nejnω0te−jφ−n
定义cn是偶函数：
2cn=2c−n
定义φn是奇函数，区间包含原点：
φn=−φ−n
则有：
x(t)=c0+n=1∑∞2cnejnω0tejφn+n=−1∑−∞2c−nejnω0tejφn
继续定义c0
c0ej0ω0tejφ0定义φ0是奇函数，区间包含原点c0⋅1⋅1
所以：
x(t)=−∞∑∞2cnejnω0tejφn=−∞∑∞2cnejφnejnω0t=−∞∑∞X(nω0)ejnω0t=−∞∑∞Xnejnω0t
x(t)=−∞∑∞∣Xn∣ejφnejnω0t
Xn=2cnejφn=∣Xn∣ejφn=∣Xn∣(cosφn+jsinφn)
以上过程，首先是神笔欧拉公式（一个预设的巧妙规则）定义了三角函数与复指数的变换。在这个定义下，如果用复指数算子去分解信号（分解后给了个名字叫频域），频率会有正负。
x(t)=c0+n=1∑∞cncos(nω0t+φn)
ejω=cosω+jsinωx(t)=c0+n=1∑∞2cnejnω0tejφn+n=−1∑−∞2c−nejnω0te−jφ−n
c−n=cn,φ−n=φnx(t)=−∞∑∞2cnejφnejnω0t
在这里
- 频率Frequecny：nω0，也就是e^
- 幅度Amplitude：cn/
- 相位Phase：e^
但实际上，一对共轭（实部相等，虚部相反）的的复指数算子，才能构成一个实信号：
Xnejnω0t+Xn∗e−jnω0t=∣Xn∣(cosφn+jsinφn)(cosnω0t+jsinnω0t)+∣Xn∣(cosφn−jsinφn)(cosnω0t−jsinnω0t)=cosφncosnω0t−sinφnsinnω0t+cosφnjsinnω0t+jsinφncosnω0t+cosφncosnω0t−sinφnsinnω0t−cosφnjsinnω0t−jsinφncosnω0t=cosφncosnω0t−sinφnsinnω0t=cncos(nω0t+φn)
傅里叶级数变换是：
Xn=T1∫−2T2Tx(t)e−jnω0tdt
x(t)=n=−∞∑∞Xnejnω0t
X(nω0)=T1∫−2T2Tx(t)e−jnω0tdt
当T趋于无穷大时，ω0也是无穷小，两边无穷小，没法算，尝试着两边同时乘以无穷大T，则有
TXn=∫−2T2Tx(t)e−jnω0tdt=fT Xn
让Xn除以一个无穷小的fT，相当于求导，即单位f内Xn的变化率，给个名字频谱密度，发现挺好：
X(jω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt
根据傅里叶级数恢复时域的定义
x(t)=n=−∞∑∞fTX(jω)ejnω0t
x(t)=n=−∞∑∞2πω0X(jω)ejnω0t
则有
x(t)=2π1∫−∞∞X(jω)ejωtdω
k1f1(t)+k2f2(t)⇒k1F1(jω)+k2F2(jω)
f(kt)⇒∣k∣1F(kjω)
dtdf(t)⇒jωF(jω)
f1(t)∗f2(2)⇒F1(jω)F2(jω)
F1(jω)∗F2(jω)⇒2π1f1(t)∗f2(2)
∫−∞∞∣f(t)∣2dt⇒2π1∫−∞∞∣F(jω)∣2dω
T1∫−∞∞∣f(t)∣2dt⇒∫−∞∞∣F(jω)∣2dω
f(t−t0)⇒ejωt0F(jω)
ejω0tf(t)⇒F(jω−jω0)
FourierParameters->{1,-1}用于信号分析的傅里叶变换。
ClearAll["Global`*"]
f1[t_] := DiracDelta[t];
FourierTransform[f1[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
f2[t_] := HeavisideTheta[t];
FourierTransform[f2[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
f3[t_] := E^(-a*Abs[t])
FourierTransform[f3[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}, Assumptions -> a > 0]
f4[t_] := Sin[\[Omega]0*t]/(Pi*t);
FourierTransform[f4[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
f5[t_] := Cos[\[Omega]0*t];
FourierTransform[f5[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
f6[t_] := Sin[\[Omega]0*t];
FourierTransform[f6[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
f7[t_] := 1;
FourierTransform[f7[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
f8[t_] := Sign[t]
FourierTransform[f8[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
f9[t_] := \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = \(-\[Infinity]\)\), \(\
\[Infinity]\)]\(DiracDelta[t - n*T]\)\)
FourierTransform[f9[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]
Assuming[T > 0, Simplify[(2*\[Pi])/T \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = \(-\[Infinity]\)\), \(\
\[Infinity]\)]\(DiracDelta[\[Omega] - n*
\*FractionBox[\(2*\[Pi]\), \(T\)]]\)\)]]
F9[\[Omega]_] := (2*\[Pi])/T*\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = \(-\[Infinity]\)\), \(\
\[Infinity]\)]\(DiracDelta[\[Omega] - n*
\*FractionBox[\(2 \[Pi]\), \(T\)]]\)\)
- Periodical signal has its Fourier series
x(t)=n=−∞∑∞X(nω0)ejnω0t
- Fourier Transform
X(jω)=∫−∞∞(n=−∞∑∞X(nω0)ejnω0t)e−jωtdt=∫−∞∞(n=−∞∑∞X(nω0)ejnω0t)e−jωtdt=n=−∞∑∞(X(nω0)∫−∞∞ejnω0te−jωtdt)=n=−∞∑∞X(nω0)2πδ(ω−nω0)
-
工程上，似乎总是以傅里叶级数的系数作为频谱的幅值（这其实是CTFT的结果）。我们看到上面这个表达式，在每个nω0处，结果是FS的系数乘以一个冲击。
2πδ(ω)=2πδ(2πf)=2π⋅2π1δ(f)=δ(f)
平均功率（P）与功率谱：
PP=T1∫−2T2Tx2(t)dt=T1∫−2T2Tx(t)[n=−∞∑∞Xnejnω0t]dt=n=−∞∑∞Xn[T1∫−2T2Tx(t)ejnω0t]=n=−∞∑∞XnXn∗