对于x(t)的抽样信号x^(t)，其拉普拉斯变换是
X^(s)=∫−∞∞x(t)e−stdt=∫−∞∞[n=−∞∑n=∞x(nT)δ(t−nT)]e−stdt=n=−∞∑n=∞∫−∞∞x(nT)e−stδ(t−nT)dt=n=−∞∑n=∞x(nT)e−nTs=n=−∞∑n=∞x(nT)(eTs)−n
对于Z变换
X(z)=n=−∞∑n=∞x(n)z−n
这里，其实
x(nT) = x(n)
当z =esT时，序列x(n)的Z变换就是其拉普拉斯变换，即
X(z)∣z = esT = X(esT) = X^(s)
其映射关系为
z=eTs=eT(σ+jω)=eσTejωT=eσTejωT=eσTejΩ
其中
Ω=ωT=Ttotal2πNTtotal=N2π
Z域变换是，双边
X(z)=k=−∞∑∞x(k)z−n
对于序列x(k)，我们乘以一个衰减因子e−σk后再进行傅里叶变换，
k=0∑∞x(k)e−σke−jωk=k=0∑∞x(k)e−(σ+jω)k=X(eσ+jω)
这里，把eσ + jω看成自变量z，则有
X(z)=k=0∑∞x(k)z−n
逆变换
x(k)=k=−∞∑∞x(k)z−n
X(z)的傅里叶的逆变换是
x(k)e−βkx(k)=2π1∫−ππX(z)ejωkdω=2πj1∫−ππX(Z)e(β+jω)kdjω=2πj1∫β−πβ+πX(Z)e(β+jω)kd(β+jω)=2πj1∫β−πβ+πX(z)eβ+jωe(β+jω)kd(eβ+jω)=2πj1∫eβ−πeβ+πX(z)e(β+jω)(k−1)d(eβ+jω)=2πj1∫eβ−πeβ+πX(z)zk−1dz
Z变换的含义是
不稳定系统无法使用序列的傅里叶变换进行分析，所有乘以了一个衰减因子进行变换，扩展到复频域；单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换；Z变换的收敛域是开域r≥eβ0，当冲击响应的Z变换的收敛域跨越单位圆时系统时稳定的；当系统函数的收敛域不跨越单位圆，系统是不稳定的。
k=−∞∑∞∣∣∣x(k)z−n∣∣∣=M<∞
如果级数k=0∑∞x(k)zn在z=R处收敛，那么对于0≤∣z∣<R的z，级数必然收敛，R为最大收敛半径；
同样，对于k=0∑∞x(k)z−n在z=R处收敛，那么对于R<∣z∣≤∞的z，级数必然收敛，R为最小收敛半径；
常见信号的Z变换,《信号与系统》，王明泉，page280
| 时域 |
Z域 |
收敛域 |
| δ(n) |
1 |
全部z |
| u(n) |
z−1z=1−z−11 |
∣z∣>1 |
| u(−n−1) |
z−1−z=1−z−1−1 |
∣z∣<1 |
| anu(n) |
z−az=1−az−11 |
∣z∣>a |
| anu(−n−1) |
z−a−z=1−az−1−1 |
∣z∣<a |
| RN(n) |
zN−1(z−1)zN−1=1−z−11−z−N |
∣z∣>0 |
| nu(n) |
(z−1)2z=(1−z−1)2z−1 |
∣z∣>1 |
| nanu(n) |
(z−a)2z=(1−az−1)2z−1 |
∣z∣>a |
| nanu(−n−1) |
(z−a)2−az=(1−az−1)2−az−1 |
∣z∣<a |
| e−jnΩ0u(n) |
z−e−jΩ0z=1−e−jω0z−11 |
∣z∣>1 |
| sin(nΩ0)u(n) |
1−2z−1cosΩ0+z−2z−1sinΩ0 |
∣z∣>1 |
| cos(nΩ0)u(n) |
1−2z−1cosΩ0+z−21−z−1cosΩ0 |
∣z∣>1 |
| e−ansin(nΩ0)u(n) |
1−2z−1cosΩ0+z−2e−2az−1e−asinΩ0 |
\vert z \vert >e^ |
| e−ancos(nΩ0)u(n) |
1−2z−1cosΩ0+z−2e−2az−1e−acosΩ0 |
\vert z \vert >e^ |
| sin(Ω0n+θ)u(n) |
\displaystyle \frac{z^2\sin\theta+z\sin\left(\Omega_0-\theta\right)} |
∣z∣>1 |
| (n+1)anu(n) |
\displaystyle \frac {z^2}{(z-a)^2} =\frac{1} |
∣z∣>∣a∣ |
| 2!(n+1)(n+2)anu(n) |
\displaystyle \frac {z^3}{(z-a)^3} =\frac{1} |
∣z∣>∣a∣ |
| m!(n+1)(n+2)⋯(n+m)anu(n) |
(z−a)(m+1)z(m+1)=(1−az−1)(m+1)1 |
∣z∣>∣a∣ |
Z[ax(n)+bx(n)]=aX(z) + bX(z)
Z[x(n−m)]=z−mX(z)
Z[x(n−m)u(n)]=z−m[X(z)+k=−m∑−1x(k)z−k]=z−mX(z)
Z[x(n+m)u(n)]=zm[X(z)+k=0∑m−1x(k)z−k]
Z[anx(n)]=X(az)
Z[nx(n)]=−zdzdX(z)
Z[x∗(n)] = X∗(z∗)
Z[x(−n)]=X(z1)
x(0)=z→1lim[(z−1)X(z)]
z→∞limx(n)=z→1lim[(z−1)X(z)]
Z[m=0∑m=nx(m)]=z−1zX(z)
y(n) = x(n) ∗ h(n) ⇒ Y(z) = X(z)H(z)
y(n) = x(n) ⋅ h(n) ⇒ Y(z) = X(z) ∗ H(z)
n=−∞∑n=∞x(n)h∗(n)=2πj1∮X(v)H∗(v∗1)v−1dv
当围线取单位圆∣v∣=1时，
v=v∗1=e−jΩ1=ejΩ
n=−∞∑n=∞x(n)x∗(n)=2πj1∮X(v)X∗(ejΩ)ejΩ=2πj1∮X(v)X∗(ejΩ)e−jΩdejΩ=2πj1∮X(v)X∗(ejΩ)e−jΩe−jΩjdΩ=2π1∮∣X(v)∣2dΩ
（1）Z变换基本定义
H(z)=n=−∞∑∞h(n)z−n
（2）从DTFT频域到Z域
H(ω)= H(z)∣z=ejΩ=n=−∞∑∞h(n)e−jnΩ
（3）传递函数的零极点关系
H(ω)=A(ω)B(ω)=∑k=0Nake−jΩk∑k=0Mbke−jΩk(ak,bk∈Real)
以上是多项式，做因式分解，可以得到零极点
=b0∏k=0N(1−pke−jΩ)∏k=0M(1−zke−jΩ)(zk,pk∈Real or Complex-Conjugate-Pair )
再回到多项式去，这正是一个IIR数字滤波器（因为包含分母）
H(z)=∑k=0Nakz−k∑k=0Mbkz−k
（4）Z域共轭关系
H∗(ω)=(∑k=0Nake−jΩk∑k=0Mbke−jΩk)∗=∑k=0Nak∗ejΩk∑k=0Mbk∗ejΩk=∑k=0NakejΩk∑k=0MbkejΩk
H(z−1)=∑k=0Nakzk∑k=0MbkzkH(−ω)
所以
H∗(z) = H(z− 1)
得出
∣H(z)∣2 = H(z)H∗(z) = H(z)H(z−1)