这里与FS是类似的，但是离散时间周期信号的傅里叶级数是有限项N，而连续时间周期信号的傅里叶积是无穷多项。一个周期离散信号x(n)可以表示为：
x(n)=k=0∑N−1akejkN2πn
其中ak就是傅里叶级数变换的系数
ak=N1n=0∑N−1x(n)e−jkN2πn
求解周期信号x(n)= {…,1,2,3,4,…}的傅里叶系数ak
ak=N1n=0∑N−1x(n)e−jkN2πn=41n=0∑3x(n)e−jkN2πn=41n=0∑4x(n)W4kn
举例说明两个系数的计算
W400W412=e0=1=e2−jπ2=cosπ−jsinπ=−1
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1a2a3⎦⎥⎥⎥⎤=N1⎣⎢⎢⎢⎡W400W401W402W403W410W411W412W413W420W421W422W423W430W431W432W433⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡x(0)x(1)x(2)x(3)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡1行1列逐个相乘求和1行1列逐个相乘求和1行1列逐个相乘求和1行1列逐个相乘求和⎦⎥⎥⎥⎤
第一个行列式的行数（4）决定结果的行数，第二个行列式的列数（1）决定结果的列数，所以最终的结果是4行1列
对于一个非周期信号x(t)，对其进行冲击信号δT(t)抽样，再进行傅里叶变换
∫−∞∞x(t)δT(t)e−jωtdt=∫−∞∞x(t)n=−∞∑n=∞δ(t−nT)e−jωtdt=n=−∞∑n=∞∫−∞∞x(t)δ(t−nT)e−jωtdt=n=−∞∑n=∞x(nT)e−jωnT
这里T时采样间隔，单位ω乘以T得到了单位幅角Ω=ωT，所以上式
=n=−∞∑n=∞x(nT)e−jnΩ=n=−∞∑n=∞x(n)e−jnΩ=X(ejΩ)
IDTFT为
x(n)=2π1∫−ππX(ejΩ)ejnΩ
离散信号的频谱
F(jω)=n=0∑∞f(nT)e−jnωT
周期为T2π，证明如下
e−jn(ω+T2π)T=e−jn2πe−jnωT=e−jnωT
离散信号频谱是连续信号频谱的采样
F(ejωT)=T1n=0∑∞F(jω−jkT2π)
恢复该信号的方法是
f(t)=n=0∑∞f(nT)Tπ(t−nT)sin(Tπ(t−nT))
由于采样时间/频率的存在，使得序列有了频率的概念，通过下面，可以看到，离散信号的傅里叶变换，在频域上是以fs为间隔的周期函数
Ω= ωT=2πffs1=2πfsf=2πωsω
这里之所以写出自变量为ejnΩ的形式，是为了进一步推导X(−ω)=X∗(ω)的结论，欧拉公式展开：
ejnΩ=cos(nΩ)+jsin(nΩ)
ej(−n)Ω=cos(−nΩ)+jsin(−nΩ)=cos(nΩ)−jcos(nΩ)
所以有：
X(−ω)=X∗(ω)