在MOD1的基础上，
V ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) E ( z ) V ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) E ( z )
将Quantiser替换为一个MOD1，可以得到一个MOD2，原来的传递函数
V ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z ) V ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z )
将反馈的延迟环节，移动到主环路来（主通路增益不变，小环路增益不变）
此时的传递函数为
V ( z ) = z − 1 U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z ) V ( z ) = z − 1 U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z )
这样的好处，环路变得简单了一些，只需要一个延迟环节了。
接着根据帕萨瓦尔定理，可以看到MOD2噪声的总和6，而在MOD1中，总噪声是2
N T F ( z ) = 1 − 2 z − 1 + z − 2 N T F ( z ) = 1 − 2 z − 1 + z − 2
此时，噪声的传递函数的带内积分结果为
P n o i s e , l p f = 1 2 π ∫ − π O S R ⋅ T π O S R ⋅ T ∣ 1 − e − j ω T ∣ 4 d ω = π 4 5 T ⋅ O S R 5 P n o i s e , l p f = 2 π 1 ∫ − O S R ⋅ T π O S R ⋅ T π ∣ ∣ ∣ 1 − e − j ω T ∣ ∣ ∣ 4 d ω = 5 T ⋅ O S R 5 π 4
对于一个信号幅度是M的正弦波，其信号功率为：
P s i g n a l = ( 2 2 V F u l l S c a l e 2 ) 2 = ( 2 M ) 2 8 = M 2 2 P s i g n a l = ( 2 2 2 V F u l l S c a l e ) 2 = 8 ( 2 M ) 2 = 2 M 2
量化器V L S B = Δ = 2 V L S B = Δ = 2
I B N = V L S B 2 12 π 4 5 O S R 5 = V L S B 2 60 π ( π O S R ) 5 = 4 60 π ( π O S R ) 5 I B N = 1 2 V L S B 2 5 O S R 5 π 4 = 6 0 π V L S B 2 ( O S R π ) 5 = 6 0 π 4 ( O S R π ) 5
S Q N R p e a k = M 2 2 4 60 π ( π O S R ) 5 = 15 M 2 O S R 5 2 π 4 S Q N R p e a k = 6 0 π 4 ( O S R π ) 5 2 M 2 = 2 π 4 1 5 M 2 O S R 5
(*Mathematica 12.3*)
ClearAll["Global`*"]
(*一阶 Delta-Sigma Modulator 的传递函数，噪声的频谱密度*)
NTF = (Abs[1 - E^(-I*\[Omega]*T)])^4
(*NTF在"fS/(2*OSR)"内的积分RMS噪声*)
pnoise = (1/Pi)*
Integrate[NTF, {\[Omega], 0, Pi/(OSR*T)}, Assumptions -> OSR > 1]
(*经过近似的一阶积分噪声，与书本上推导一致*)
Series[pnoise, OSR -> Infinity]
pnoise2 = (1/Pi)*Integrate[NTF, {\[Omega], 0, Pi/(1*T)}, Assumptions -> OSR > 1]
SNR O S R + S D M 2 − S N R = 10 10 P s i g n a l P n o i s e π 4 5 O S R 5 T P s i g n a l P n o i s e = 10 10 5 O S R 5 π 4 = 10 10 5 π 4 + 50 10 O S R = 10 10 5 π 4 + 50 2 10 2 O S R = − 12.896 + 15.05 2 O S R SNR O S R + S D M 2 − S N R = 1 0 log 1 0 P n o i s e P s i g n a l P n o i s e 5 O S R 5 T π 4 P s i g n a l = 1 0 log 1 0 π 4 5 O S R 5 = 1 0 log 1 0 π 4 5 + 5 0 log 1 0 O S R = 1 0 log 1 0 π 4 5 + log 2 1 0 5 0 log 2 O S R = − 1 2 . 8 9 6 + 1 5 . 0 5 log 2 O S R
所以ENOB的效率是 2.5 × 2 O S R 2 . 5 × log 2 O S R
常用的对数公式
a b = c b c a a b c = a b + a c a b c a b + a c a b c = c a b log a b = log c a log c b log a b c = log a b + log a c log a c b log a b + log a c log a b c = c log a b
去观察量化器的输入信号
V ( z ) = S T F ( z ) U ( z ) + N T F ( z ) E ( z ) Y ( z ) = V ( z ) − E ( z ) = z − 1 U ( z ) + E ( z ) ( N T F ( z ) − 1 ) V ( z ) Y ( z ) = S T F ( z ) U ( z ) + N T F ( z ) E ( z ) = V ( z ) − E ( z ) = z − 1 U ( z ) + E ( z ) ( N T F ( z ) − 1 )
研究第二项
N T F ( z ) − 1 = − 2 z − 1 + z − 2 N T F ( z ) − 1 = − 2 z − 1 + z − 2
其冲击响应为
h ( n ) = h ( 0 ) z 0 + h ( 1 ) z − 1 + h ( 2 ) z − 2 h ( n ) = h ( 0 ) z 0 + h ( 1 ) z − 1 + h ( 2 ) z − 2
所以叠加的噪声的均方值是
( 0 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 ) V L S B 2 12 = 5 V L S B 2 12 ( 0 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 ) 1 2 V L S B 2 = 1 2 5 V L S B 2
这样，量化器的输入信号，是一个输入信号再加上一个5倍的量化噪声，典型图形如下。有意思的事情是，这里的标准差已经到1.29099了，但是图里看到噪声的叠加并没有像高斯噪声那样按照3σ那样分布，整体的peak2peak还是比较小的。
观察到NTF曲线，与计算不一致，2nd和3rd Harmonics是因为是quantiser的INL导致的，这个在下一节中再分析；corner 转角频率 theoretical 偏高，这导致了theoretical的PSD在低频是略低，在高频时略高。通过修正量化器增益可以让理论时仿真对应。
Understanding SDM再分析量化器增益的时候，用了一个技巧，先把v→y的传递函数定义为L1，1表示增益为1（有必要么？直接用L不行么），这样，NTF的传递函数，可以那负反馈放大器的那一套直接得出，v→y再经过量化器的k相当于放大器反馈函数，e相当于正输入端，而y属于负输入端，放大器本身的增益和传递函数为1，这样，从e→v的传递函数为
N T F 1 ( z ) = 1 1 + L 1 N T F k ( z ) = 1 1 + L k N T F 1 ( z ) N T F k ( z ) = 1 + L 1 1 = 1 + L k 1
这里，把N T F k N T F k L 1 L 1 N T F k N T F k
N T F k = N T F 1 ( z ) k + ( 1 − k ) N T F 1 ( z ) ⇒ k = 0.75 ( 1 − z − 1 ) 2 1 − 0.5 z − 1 + 0.25 z − 2 N T F k = k + ( 1 − k ) N T F 1 ( z ) N T F 1 ( z ) k = 0 . 7 5 1 − 0 . 5 z − 1 + 0 . 2 5 z − 2 ( 1 − z − 1 ) 2
这相当于增加了一对共轭极点。
再次分析理想的NTF，与低频输入和高频输入信号下的仿真NTF的结果：
当信号超过FS/2后，quantiser的输入y其实已经overload了，此时effective gain下降，因此噪声的抑制能力变差；
低频的输入信号，相比高频的正弦波而言，有更多的时间信号是处于较高电位的，因此overload更严重，导致SNR的下降比高频输入更差一些。
如何理解 ，当输入信号较小时，SQNR也是比较差，而在FS/2时比较一致。
Understanding SDM似乎没有分析quantiser gain对STF的影响，尝试分析如下：
[ ( U ( z ) − V ( z ) ) 1 1 − z − 1 − V ( z ) ] z − 1 1 − z − 1 k = V ( z ) [ ( U ( z ) − V ( z ) ) 1 − z − 1 1 − V ( z ) ] 1 − z − 1 z − 1 k = V ( z )
解上述方程，得到
S T F ( z ) = z − 1 k ( 1 − k ) z − 2 + ( 2 k − 2 ) z − 1 + 1 S T F ( z ) = z − 1 ( 1 − k ) z − 2 + ( 2 k − 2 ) z − 1 + 1 k
当z=1时，也就是DC时
S T F ( z ) = k 1 − k + 2 k − 2 + 1 = 1 S T F ( z ) = 1 − k + 2 k − 2 + 1 k = 1
对比分析，当k=0.75时，得到
S T F ( z ) = 0.75 1 − 0.5 z − 1 + 0.25 z − 2 S T F ( z ) = 1 − 0 . 5 z − 1 + 0 . 2 5 z − 2 0 . 7 5
这里发现STF的极点，与NTF的极点竟然时一致的。
v ‾ = k 1 y ‾ + k 3 y ‾ 3 v = k 1 y + k 3 y 3
通过对上述环路仿真，扫描DC输入u，统计Quantizer的输入值与输出值平局之，从而确定等效增益k 1 k 1 k 3 k 3
在此前CH1-Basic Conception CH1-Basic%20Conception.md中，确定effective gain的方法是直接对quantiser（mid-tread）的输入加载一个正弦波激励去计算投影，而现在是对整个环路加载DC增益，方法并不完全一致。个人理解：之前那样分析quantiser(mid-tread)，是为了引出量化器增益的概念，最终当我们实际分析quantiser在环路中的作用时，需要对quantiser输入/输出的实际值去建模。
这里也并没有按照投影的方式去建模，而是对quantiser输入输出的平均值进行多项式拟合得到的k1和k3的系数。这是因为？
进行拟合时，modulator的扫描的输入信号DC值，而分析的谐波确是正弦波？这是因为，我们在分析一个系统的非线性时，传递函数确实就是DC-SWEEP的值拟合的结果，因为正是由于系统的传递DC输入到输出的非线性，才导致交流信号传递后频谱上观察到的谐波。这个谐波正是非线性x^3次项目，在频率上3ω的表现。以上的分析忽略的带宽的影响，这是因为DT-SDM中我们总是预设了信号在一个单位时间z − 1 z − 1
对于一个幅值为A的信号u，输出v仍然是一个赋值为A的信号，那么Quantizer的输入信号的幅值Amplitude应该就是
y = 1 k y = k 1
接着我们用反推输出的输入y，乘以传递函数，得到三次谐波在输出v上的表达，三次谐波Third Harmonics的传递函数为（除以A是求为了求dB值，也就是相对值）
k 3 4 ⋅ ( A k 1 ) 3 ⋅ N T F k 1 ( z ) / A = k 3 A 2 4 k 1 3 N T F k 1 ( z ) 4 k 3 ⋅ ( k 1 A ) 3 ⋅ N T F k 1 ( z ) / A = 4 k 1 3 k 3 A 2 N T F k 1 ( z )
将z = e j ω T = e j 2 π ( 3 f ) T z = e j ω T = e j 2 π ( 3 f ) T T = 1 T = 1 f f 3 f 3 f
频域下，为什么除了三次项系数k3，还要乘以1/4的系数，这需要利用积化和差公式
sin α ⋅ sin β = − 1 2 ( cos ( α + β ) − cos ( α − β ) ) sin α ⋅ sin β = − 2 1 ( cos ( α + β ) − cos ( α − β ) )
则有
sin ( ω t ) ⋅ sin ( ω t ) = − 1 2 ( cos ( 2 ω t ) − 1 ) sin ( ω t ) ⋅ sin ( ω t ) ⋅ sin ( ω t ) = − 1 2 ( sin ( 2 ω t + π 2 ) − 1 ) ⋅ sin ( ω t ) = − 1 2 sin ( 2 ω t + π 2 ) sin ( ω t ) + 1 2 sin ] ( ω t ) = 1 4 ( cos ( 2 ω t + π 2 + ω t ) − cos ( 2 ω t + π 2 − ω t ) ) + 1 2 sin ( ω t ) = 1 4 cos ( 3 ω t + π 2 ) − 1 4 cos ( ω t + π 2 ) + 1 2 sin ( ω t ) = − 1 4 sin ( 3 ω t ) + 3 4 sin ( ω t ) sin ( ω t ) ⋅ sin ( ω t ) sin ( ω t ) ⋅ sin ( ω t ) ⋅ sin ( ω t ) = − 2 1 ( cos ( 2 ω t ) − 1 ) = − 2 1 ( sin ( 2 ω t + 2 π ) − 1 ) ⋅ sin ( ω t ) = − 2 1 sin ( 2 ω t + 2 π ) sin ( ω t ) + 2 1 sin ] ( ω t ) = 4 1 ( cos ( 2 ω t + 2 π + ω t ) − cos ( 2 ω t + 2 π − ω t ) ) + 2 1 sin ( ω t ) = 4 1 cos ( 3 ω t + 2 π ) − 4 1 cos ( ω t + 2 π ) + 2 1 sin ( ω t ) = − 4 1 sin ( 3 ω t ) + 4 3 sin ( ω t )
对上述MOD进行仿真，进行DC扫描，可以到噪声功率为
相比MOD1，MOD2对idle-tone的抵抗力更高一点(resistant)，当输入接近0时，还是可以看到这个idle-tone的遗留痕迹(vestiges)。
U型的噪声形状，当输入较大时，量化器的等效增益减小，NTF函数对噪声的抑制能力减弱，因此噪声较大。在随机过程的术语，该属性使得具有大的确定性输入的MOD2的量化噪声非平稳性。 具体来说，当信号的绝对值较大时，量化噪声功率也较大，因而量化噪声的统计是时变的。（这句话什么意思？）
从v到y的环路滤波器的传递函数
( − v p 1 − p z − 1 − v ) p z − 1 1 − p z − 1 = y y v = − p 2 z − 1 ( 1 − p z − 1 ) 2 − p z − 1 1 − p z − 1 ( − v 1 − p z − 1 p − v ) 1 − p z − 1 p z − 1 = y v y = − ( 1 − p z − 1 ) 2 p 2 z − 1 − 1 − p z − 1 p z − 1
当输入u=0，输出可以看到是
v [ n ] = c o s ( π n ) z − 1 = e − j ω T ⇒ ω = π T , T = 1 e − j π = 1 cos ( − π ) + sin ( − π ) = − 1 v [ n ] = c o s ( π n ) z − 1 = e − j ω T ω = T π , T = 1 e − j π = cos ( − π ) + sin ( − π ) 1 = − 1
将上述结果代入传递函数
y ( n ) = ( − p 2 z − 1 ( 1 − p z − 1 ) 2 − p z − 1 1 − p z − 1 ) cos ( π n ) = p ( 1 + 2 p ) ( 1 + p ) 2 cos ( π n ) ≈ 3 4 cos ( π n ) , if p → 1 y ( n ) = ( − ( 1 − p z − 1 ) 2 p 2 z − 1 − 1 − p z − 1 p z − 1 ) cos ( π n ) = ( 1 + p ) 2 p ( 1 + 2 p ) cos ( π n ) ≈ 4 3 cos ( π n ) , if p → 1
因此，只要∣ y o f f ∣ < 3 / 4 ∣ y o f f ∣ < 3 / 4
继续分析，从u到y的传递函数为：
y u = p 2 z − 1 ( 1 − p z − 1 ) 2 u y = ( 1 − p z − 1 ) 2 p 2 z − 1
由于我们在计算DC信号，除以传递函数在DC处增益，从而得到输入端看到的DeadZone
z − 1 = e − j ω T ⇒ ω = 0 T , T = 1 e − j 0 = 1 cos ( − 0 ) + sin ( − 0 ) = 1 y u ∣ z − 1 = 1 = p 2 ( 1 − p ) 2 p = A ( A + 1 ) ⟺ A = 1 ( 1 − p ) z − 1 = e − j ω T ω = T 0 , T = 1 e − j 0 = cos ( − 0 ) + sin ( − 0 ) 1 = 1 u y ∣ ∣ ∣ ∣ z − 1 = 1 = ( 1 − p ) 2 p 2 p = ( A + 1 ) A ⟺ A = ( 1 − p ) 1
所以，Dead Zone的输入为
∣ y o f f ∣ p 2 ( 1 − p ) 2 = 3 4 A 2 ( A A + 1 ) 2 ≈ 3 4 1 A 2 ( 1 − p ) 2 p 2 ∣ y o f f ∣ = A 2 ( A + 1 A ) 2 4 3 ≈ 4 3 A 2 1
优点：Using delaying integrators is desirable because it allows the opamps in each integrator to settle independently of each other, thereby relaxing their speed requirements
缺点：需要2个DAC？
推导该结构：
S T F ( z ) = a 1 a 2 z − 2 D ( z ) N T F ( z ) = ( 1 − z − 1 ) 2 D ( z ) D ( z ) = ( 1 − z − 1 ) 2 + a 2 b z − 1 ( 1 − z − 1 ) + a 1 a 2 z − 2 S T F ( z ) N T F ( z ) D ( z ) = D ( z ) a 1 a 2 z − 2 = D ( z ) ( 1 − z − 1 ) 2 = ( 1 − z − 1 ) 2 + a 2 b z − 1 ( 1 − z − 1 ) + a 1 a 2 z − 2
可以选择a1=a2=1, b=2，也可以选择a1=0.5, a2=2, b=1
这个结构是前馈的结构，只需要1个反馈节点，但是需要一个求和器。
V ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z ) V ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z )
他的好处在于环路输入只有量化噪声，没有信号源，因为只有一个反馈节点，这个反馈节点的输入信号为
U ( z ) − V ( z ) = − ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z ) U ( z ) − V ( z ) = − ( 1 − z − 1 ) 2 E ( z )
且第二季积分器的输出信号等于
I N T 2 = − z − 2 E ( z ) I N T 2 = − z − 2 E ( z )
传递函数，顺着信号流，可以直接写出
V ( z ) = U ( z ) + E ( z ) + H f ( z ) E ( z ) V ( z ) = U ( z ) + E ( z ) + H f ( z ) E ( z )
为了得到2阶差分的NTF表达式，
H f ( z ) = ( 1 − z − 1 ) 2 − 1 = z − 2 − 2 z − 1 H f ( z ) = ( 1 − z − 1 ) 2 − 1 = z − 2 − 2 z − 1
而实线框中确实是这样的结构，这种结构不适合模拟电路的实现，看似很简单但非常受限于模拟减法的实现精度，可以用一阶的结构做简单分析
如果v-y的误差有1%，则v-y的传递函数为
V ( z ) − Y ( z ) = 1.01 E ( z ) V ( z ) − Y ( z ) = 1 . 0 1 E ( z )
那么整体的传递函数为
V ( z ) = U ( z ) + E ( z ) − 1.01 z − 1 E ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) E ( z ) − 0.01 z − 1 E ( z ) V ( z ) = U ( z ) + E ( z ) − 1 . 0 1 z − 1 E ( z ) = U ( z ) + ( 1 − z − 1 ) E ( z ) − 0 . 0 1 z − 1 E ( z )
低频时，也就是z^-1→1时，最后还是有0.01的E(z)残留下来，这相当于40dB。40/(6.02/2)=13? 原理理解，但是这个具体数，没有推导出来？
At very low frequencies, instead of 0, the magnitude of e will then equal 0.01, or 40 dB. Hence, even with careful analog design, the achievable ENOB will typically be less than 12 bits for ADCs with a single-bit quantizer, even for OSR≈1000. By contrast, comparable parameter changes still allow 15-bit resolution for the structure of MOD1 at OSR≈1000. The error-feedback structure is thus of limited utility in ADCs – however, it has found favor in noise-coupled ADCs.
把一个一阶的error-feedback的结构，替换掉MOD1的quantizer，得到noise-coupled structure
之前分析由于减法器的误差，在这个结构中被第一级积分器所抑制，因此更加robust。他的优点是结构简单，实现了额外的噪声抑制阶数。
如图在MOD2的基础上，增加了两条前馈路径，这样在STF函数上增加了零点，有了免费的FIR滤波器
S T F ( z ) = b 1 + b 2 ( 1 − z − 1 ) + b 3 ( 1 − z − 1 ) 2 S T F ( z ) = b 1 + b 2 ( 1 − z − 1 ) + b 3 ( 1 − z − 1 ) 2
从直观上理解这个传递函数：
b1这个参数就在输入处，传递增益就是1；
b2这个参数，在第一级的输出，与b1的区别就是是否经过integrator，所以除以integrator后的最终传递就是一个一阶差分项；
同理，b3这个参数与b1的区别是否经过2个integrator，所以传函是二阶差分项；
如果在反馈路劲上增加之路，相当于同时在STF和NTF上增加极点
传递函数为
S T F ( z ) = B ( z ) A ( z ) N T F ( z ) = ( 1 − z − 1 ) 2 A ( z ) S T F ( z ) N T F ( z ) = A ( z ) B ( z ) = A ( z ) ( 1 − z − 1 ) 2
这里
B ( z ) = b 1 + b 2 ( 1 − z − 1 ) + b 3 ( 1 − z − 1 ) 2 A ( z ) = 1 + ( a 1 + a 2 + a 3 − 2 ) z − 1 + ( 1 − a 2 − 2 a 3 ) z − 2 + a 3 z − 3 B ( z ) A ( z ) = b 1 + b 2 ( 1 − z − 1 ) + b 3 ( 1 − z − 1 ) 2 = 1 + ( a 1 + a 2 + a 3 − 2 ) z − 1 + ( 1 − a 2 − 2 a 3 ) z − 2 + a 3 z − 3
a3这一项，并没有增加NTF的零点(对噪声的抑制)，却增加了NTF的极点（对高频噪声的放过）到3阶，所以一般不会增加。
