¶ 1 量化器与增益
¶ 1.1 量化器
左图是一个M-STEP的midrise量化器，右图是一个midtread的量化器
基本参数如下：
| 参数 | Mid-Rise | Mid-Tread |
|---|---|---|
| 比较器 | 5 | 6 |
| 比较器电平 | -4,-2, 0, +2, +4 | -5, -3, -1, +1, +3, +5 |
| 反馈结果 | -5, -3, -1, +1, +3, +5 | -6, -4, -2, 0, +2, +4, +6 |
| 反馈FS | ±5 | ±6 |
量化器的建模，这篇主要分析量化器的增益k
¶ 1.2 投影与内积
对于输入信号y[n]，量化输出为v[n]，为了去确定量化器的增益k，需要去找最小均方差
定义内积 (inner product, scalar product)，内积是投影的过程
可以将内积理解为投影的物理意义。内积是向量空间中两个向量之间的一种运算，它将一个向量投影到另一个向量上，并给出了它们之间的相似程度或对齐程度。在几何学中，如果有两个向量 A 和 B，它们的内积 A·B 可以用来描述向量 A 在向量 B 上的投影长度，乘以向量 B 的长度。换句话说，内积可以告诉我们向量 A 在向量 B 方向上的投影有多长。内积还可以用于衡量两个向量之间的夹角。如果两个向量 A 和 B 的内积为零，即 A·B = 0，则表示它们垂直或正交。当内积为正时，表示它们的夹角小于 90 度，而内积为负时，表示它们的夹角大于 90 度。
举例说明投影为0时，两个向量的夹角为90°
考虑两个二维向量 A 和 B，可以将它们表示为 A = (A₁, A₂) 和 B = (B₁, B₂)。它们的内积可以表示为 A·B = A₁B₁ + A₂B₂。如果 A·B = 0，那么 A₁B₁ + A₂B₂ = 0。这意味着 A₁B₁ = -A₂B₂。如果 A₁ 和 A₂ 不同时为零，那么 B₁ 和 B₂ 必须满足 B₁ = -A₂/A₁ * B₂。这表示向量 B 的分量 B₁ 和 B₂ 的比例与向量 A 的分量 A₁ 和 A₂ 的比例相反。换句话说，向量 B 的方向与向量 A 的方向垂直。举个例子，考虑向量 A = (3, 2) 和向量 B = (-2, 3)。它们的内积为 A·B = 3*(-2) + 2*3 = 0，因此它们是垂直的向量。这个例子说明了当两个向量的内积为零时，它们的方向是互相垂直的。内积为零意味着向量的投影相互独立，它们没有共享相同方向的分量。
这样
对于一个
它的极值出现在
也就是出现在
如果直观地去理解这个公式的含义，其实就是输入信号在量化输出的投影，再除以自身的长度，显而易见这就是量化增益。
¶ 1.3 Matlab实现
以下这段MATLAB代码，是一个MID-TREAD的量化器，LEVEL=40，由于分析的信号幅度只到10，所以这相当于没有SATURATION的量化器。
% Autor : Ring
% Time : 2023-07-10
% Reference : Understanding Delta-Sigma Data Converters, 2nd Editon, p35
clear;clc;
f=7;fs=256;
A=0.5:0.1:10;
lvl=4;
k0=midTreadEffectiveGain(A,f,fs,40);
k1=randnEfectiveGain(A,f,fs,40);
k2=randEfectiveGain(A,f,fs,40);
hold on;
plot(A,k0);
plot(A,k1);
plot(A,k2);
legend("sine","gaussian","uniform")
ylabel("k,effective gain")
xlabel("A,magnitude")
function v=midRiseQuantizer(y,LEVELS)
% mid-tread quantizer, delta=2
v=ceil(y/2) * 2 - 1;
% even number of quantizer LEVELS
vmax=(LEVELS-1);
% saturation judement
if(abs(v)>vmax)
v=sign(v)*vmax;
end
end
function v=midTreadQuantizer(y,LEVELS)
% mid-tread quantizer, delta=2
v=floor((y+1)/2) * 2;
% odd number of quantizer LEVELS
vmax=(LEVELS-1);
% saturation judement
if(abs(v)>vmax)
v=sign(v)*vmax;
end
end
function k=midTreadEffectiveGain(A,f,fs,LEVELS)
length=size(A,2);
k=zeros(1,length);
for i=1:1:length
Ts=1/fs;
N=ceil(10/f*fs);
n=1:1:N;
y=A(i)*sin(2*pi*f*n*Ts);
v=zeros(1,N);
for n=1:1:N
v(n)=midTreadQuantizer(y(n),LEVELS);
end
num=sum(v.*y)/N;
dem=sum(y.*y)/N;
k(i)=num/dem;
end
end
function k=randEfectiveGain(A,f,fs,LEVELS)
length=size(A,2);
k=zeros(1,length);
for i=1:1:length
Ts=1/fs;
N=ceil(10/f*fs);
n=1:1:N;
y=A(i)*rand(1,N);
v=zeros(1,N);
for n=1:1:N
v(n)=midTreadQuantizer(y(n),LEVELS);
end
num=sum(v.*y)/N;
dem=sum(y.*y)/N;
k(i)=num/dem;
end
end
function k=randnEfectiveGain(A,f,fs,LEVELS)
length=size(A,2);
k=zeros(1,length);
for i=1:1:length
Ts=1/fs;
N=ceil(10/f*fs);
n=1:1:N;
y=A(i)*randn(1,N);
v=zeros(1,N);
for n=1:1:N
v(n)=midTreadQuantizer(y(n),LEVELS);
end
num=sum(v.*y)/N;
dem=sum(y.*y)/N;
k(i)=num/dem;
end
end
¶ 1.4 No-overload Quantiser
[正弦信号] 对于一个∆=2的量化器，量化噪声的∆^2/12=1/3，也就是误差的方差=1/3。当SINE的AMPLITUDE<1时，MID-TREAD的量化器得到的k=0，这是因为只有A<1,所有的量化结果v都是0。
[高斯信号] 对于一个标准差σ=1的gaussian分布随机信号，其幅值达到了±3σ，对于一个midtread量化器，相当于4 level的信号(-3,-1,1,3)，此时达到理想的1/3，增益k达到1。个人理解，当σ<1/3时，量化结果就全是0，自然k=0；当σ>1/3时，量化结果v开始有数值，但是没能分布开，当数值大于1时的信号不能被准确反映，自然k偏小；当σ≥1后，信号的标准偏差为1以为着离散程度的统计数值，而∆=2量化器的误差是±1，当信号的离散程度<1时，此时量化器对于信号偏粗糙，所以量化器不能准确反映这个随机信号（注意这里，我们是以集合或者统计的眼光去看待信号，把这个σ当成信号的精度）。
用以上的结论，去分析高斯随机信号在midrise量化器的表现，可以知道，当σ<2/3时，量化结果总是1，量化结果偏大，导致k偏大；当σ>2/3后，k能够减小一些更快一些，更快地向着1收敛；当σ≥1时，与上分析同理，量化增益为1。
[等概率分布噪声信号] 表现与Sine信号很像，作者为什么不用这种信号作对比分析呢？
¶ 1.5 Overload Quantiser
当量化器有范围限制后，随着输入信号增大，量化结果偏小，所以等效量化器增益偏小；对于正弦信号和高斯分布信号，这个等效量化器的增益开始减小正是发生在和。
下图是一个M=5的量化器，所以量化增益开始偏小分别A=5/sqrt(2)和σ=5/3
¶ 1.6 2-LEVEL Quantiser
这个quantiser是midrise的，量化结果是±1，这样的话，增益可以简化为
当信号放大10倍后，等效增益缩小10倍，信号越大，等效增益越小；
¶ 1.7 2-Inputs Quantiser Model
modulator输入的信号，包括信号和噪声(比如采样噪声)，因此有必要研究2输入的量化器模型
这里，y1和y2分别是正弦信号和高斯分布的随机信号
其中，f代表正弦信号的频率，而f_s代表采样信号的频率，为了能够尽可能地采到所有点，希望fs比较大，且f与fs之间是相干采样的关系，即f/fs是是质数之比，这里
对于一个M-STEP的mid-tread的量化器，M=5时，最大量化结果M-1=4，最大输入信号M=5，当A=5-3σ=2时，开始出现削顶的问题；求k1,k2的方法是
当输入信号A=[0,2]时，k1=k2=1，当A继续增大后，k1,k2开始下降，且k2下降得更快。
前者是因为当A>2后，v开始削顶。后者是因为，看量化结果v，出现削顶后的噪声部分完全看不到了，而sine信号仅仅是顶端的部分看不到了。
当sine信号独自存在时，要用其RMS值，也就是A/sqrt(2)去评估其在quantiser中的overload问题，因为此时的sine信号独立承担的分布量化区间的任务；
当sine信号与高斯信号同时存在时，分布量化区间，“be busy”的任务主要时由高斯信号承担，高斯信号的频率时256，而sine的频率7，相比高斯信号，sine信号仅相当于DC值，所以这里在计算overload特性时，用的时A而非A/sqrt(2)
¶ 1.8 单比特量化器
量化器的误差可以忽略，因为这个就是量化误差，可以被integrator的低频增益压制住。而DAC的误差是一个问题，因为这个反馈的DAC信号与输入信号无法区分，其实就是输入信号。那么这个单bit的DAC误差ε1和ε2会导致：
- Offset的误差，中心值，(ε1-ε2)/2
- Gain误差，FullScale, 1+(ε1+ε2)/2
¶ 2 信噪比
输出信号量化后，落在之间的概率是一致的。Uniformly distributed quantization noise spectrum (White Noise)
量化噪声功率
噪声的功率是，功率谱密度是
正弦信号的功率
功率的计算时信号电压在1欧姆电阻上的功率，那么对于周期信号，需要计算一个周期内的能量然后除以周期，那么则有
如果sine信号的magnitude为 ，peak-to-peakd电压为 ，所以SINE信号对应的RMS电压为
使用Mathematica做上面的积分计算代码为
ClearAll["Global`*"]
sig = fs/2*Sin[2*Pi*f*t];
FullSimplify[Integrate[sig^2, {t, 0, 1/f}]/(1/f)]
信噪比为：
换底公式：
¶ 3 过采样
（1）一个信号的带宽是，采样频率需要是能无失真地还原这个信号。这里再提高倍采样，采样后的信号频率会出现在
（2）量化噪声采样前后功率不变，其功率为，功率谱密度为
（3）对信号进行滤波，这样信号的功率不变，而噪声的功率只剩下了
（4）过采样的量化噪声信噪比计算如下：
过采样等效
这样的提高的效率相当于
¶ 4 噪声与负反馈
放大器到积分器，对于一个负反馈环路
那么对于这样的一个系统，我们可以观察到噪声被抑制了(1+A)倍
对于任何一个系统，总是有延迟的
在反馈环路上增加一个延迟单元后，我们从Z变换的角度去看这个问题，一个离散的系统
对于这个离散的系统的极点，要求所有的极点要在单位圆内，这样的系统才能稳定
这样，A<1后，对噪声的抑制能力就没有了，如果将增益变为随频率变化的积分器，在DC处有infinite的增益，随着频率提高逐渐降低
此时，将(2)代入(1)后，系统将不存在极点，解决了稳定性问题
STF函数等于1，而NTF是一个一阶的高通滤波器