严格地求积分器的传递函数，应该完成一次完整的采样周期：当前采样末(n) -> 积分末(n+0.5) -> 采样末(n+1)
过程一，虚地点的电荷保持不变；过程二，积分器输出维持不变；这样可以列出方程
(0−Vin[n])Cin+(0−Vout[n])CintVout[n+0.5]=(0−0)Cin+(0−Vout[n+0.5])Cint=Vout[n+1]
两个方程，两个未知数Vout[n+1]和Vout[n+0.5]，得到
Vin[n]Cin=(Vout[n+1]−Vout[n])Cout
对上述方程进行Z变换，得到
VinVout=CintCin1−z−1z−1
对这个积分器推导时，通常不会引入0.5的概念，因为[n+0.5]和[n+1]积分器的输出维持不变，所以忽略0.5后不会出错。
这种积分器，采样接+Vin，积分时刻输入接−Vin，同理可以列出方程
(0−Vin[n])Cin+(0−Vout[n])CintVout[n+0.5]=(0+Vin[n+0.5])Cin+(0−Vout[n+0.5])Cint=Vout[n+1]
这样，得到
VinVout=1−z−11+z−0.5
分析这个传递过程，输出的变化间隔是Ts=1，而采样输入的间隔是Ts/2=0.5，在很多论文推导采样积分过程时，是会引入n=0.5的概念的。
但是 "Understanding Sigma-Delta Modulator, page 210" 的推导没有考虑0.5这个问题，得出的double sampling积分器的传递函数是
VinVout=1−z−11+z−1
我认为，这样是不准确的，如果输入信号频率比较低时，Vin[n+0.5]和Vin[n+1]可能几乎相等（DC时完全相等），double sampling可以让信号传递×2（KT/C不变，从而提高信噪比），但是OSR较低输入信号频率比较高时，显然Vin[n+0.5]和Vin[n+1]是不等价的。
对于电路而言，等效于积分器的积分速率0.5Ts，再经过一个Ts的采样保持系统。对于离散的建模而言，等效于积分器的积分速率0.5Ts，再降采样到Ts；
仿真建模如下，信号源是连续的，上下两个积分器的采样速率分别是1和0.5
得到仿真结果印证了上述分析，DC信号完全一样，输入信号频率越高，差别越大。
如果是Twin Double Sampling的积分器呢？
- Double：采样接+Vin，积分时刻输入接−Vin；
- Twin：有2个switch-capacitor的采样网络，A采样时B在积分；B采样时A在积分；
列出差分方程
(0−Vin[n])CinA+(0−Vout[n])Cint(0−Vin[n+0.5])CinB+(0−Vout[n])CintCinA=CinB=(0+Vin[n+0.5])CinA+(0−Vout[n+0.5])Cint=(0+Vin[n+1])CinB+(0−Vout[n+1])Cint=Cin
这里的问题，在于第二级积分器的采样速率，如果第二级积分器的仍是double sampling，那传递函数为
TF=1−z−11+z−1z=ejωTsTs=0.5
如果后级是Ts=1的积分器，或者是量化器，则完整的传递函数为
TF=1−z−11+2z−0.5+z−1z=ejωTsTs=1
该系统对于DC或者低频信号，Twin Double 等效于4 x Delayed，2 x Double
